Macで「破損しているか不完全である可能性があるため開けません」が出た

Macbook Airでアプリを開こうとすると「「破損しているか不完全である可能性があるため開けません」が出てしまい、開けなくなりました。

前兆としては、Avast!が内部エラーがどうこうで開けなくなるほか、Safariでどのページを開こうが、ページを開くと共にtr.gifという謎のファイルがダウンロードされるようになっていました。

再起動して見ると、ファイルのアイコンは消え、アプリも全てダメになってました。

仕方ないので⌘+Rでリカバリーモード、ディスクを消去してから再インストールしました。
ディスクを消去しないで再インストールはムダでした。

Appleのコミュニティに投稿された10.11.3にしたらアプリケーションが破損しているか不完全だとのメッセージが表示されますぐらいしか日本語での類似の症状は見つかりませんでした。なにが原因かさっぱりわかりません…。

普段は家族が使っているものなので、自分の与り知らぬところで何かマズイ操作をしたのでしょうか。